Es ist vollbracht. Danke für Eure Tipps. Nach fünf Anrufen beim Support hat sich herausgestellt, dass es wohl schwierige Rechnerkonfigurationen gibt. Die Gerätenummerlösung von der ich oben geschrieben habe, war eine Fehlinformation vom ersten Support-Anruf.
Lösung: Die neueste TT Home-Version hat bei mir während der Installation unter Vista den besagten Ärger verursacht. Man kann sich aber noch die Version 1.3 downloaden (steht unter der Suche im Support-Bereich), die allerdings nicht unter Vista läuft. Hab mir also auf dem Notebook unter XP TT-Home 1.3 installiert. Dann konnte ich die Produkte downloaden. Nun ein Update auf TT-Home 1.5 und alles läuft. Daraufhin kann ich mit dem aktivierten Kartenmaterial nun auch unter Vista mit der TT-Home 1.5 auf den Server zugreifen.
Vielleicht hilft's jemandem mal weiter.